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已知椭圆
()的离心率
，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 斜率为的动直线与椭圆交于两点，在平面上是否存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数?若存在，求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析与解(1) 根据题意，通径长
，于是椭圆的方程为
．
(2) 法一 仿射变换
利用仿射变换．设定点的坐标为，平移坐标系，使点为坐标原点，则椭圆方程变为
当不过点时，设动直线的方程为，则联立直线与椭圆方程，有
整理得的系数为
而的系数为
根据题意，直线与直线的斜率之和
为定值．于是
解得，
或，
．对应的点在椭圆上，于是不需要考虑过点的情形．
综上所述，所有满足条件的定点的坐标为
或
．
注可以将椭圆仿射为圆，则直线的斜率为
，于是点始终平分弧，进而可取，此时，因此直线与直线的斜率始终互为相反数，符合题意．
法二 直接计算
设
，与椭圆方程联立得设
，则有直线的斜率之和
当
时斜率的和恒为，解得
综上所述，所有满足条件的定点的坐标为
或
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