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已知函数与函数
()的图象有且只有一条公切线，求实数的值．
分析与解 法一 分离
由于函数的导函数分别为
设公切线与函数与函数的图象分别相切于与
，则
从而
，且
即
于是
即
其中
．记上述等式右边为，对求导得
可以证明当时，；当时，（可以利用与
的大小关系得到与
的大小关系，从而得到结论）．
从而有在上单调递减，在上单调递增．当时，取得最小值．因此当
时，符合题意．
综上所述，实数的值为，对应的公切线方程为
．
法二 不分离
在点处的切线为
而在点
处的切线为
由这两条切线重合知
问题即当在什么范围内时，关于的方程有唯一一组解．因为与的值一一对应，如果在方程组中消去，得到
此方程组对有唯一解，不好计算；
如果在方程组中消去得到
对有唯一解，记左边为，则有
方程组有解时有，所以在
上单调递减，在
上单调递增，所以
而当与时，均有，所以当且仅当这个最小值等于零时方程有唯一解．
最后解方程
显然
是它的解，考虑
，有，所以在
上单调递增，在
上单调递减，所以是的唯一解，所以
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